13222. В равнобедренном треугольнике ABC
серединный перпендикуляр к боковой стороне BC
пересекает основание AB
в точке D
, причём AC=AD
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 36^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\angle BAC=\alpha
. Точка D
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
, поэтому DB=DC
, т. е. треугольник BDC
тоже равнобедренный. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACD=\angle ADC=\angle BAC=\angle CBD+\angle BCD=2\alpha,
а так как о сумма углов треугольника ACD
равна 180^{\circ}
, то
180^{\circ}=2\alpha+2\alpha+\alpha=5\alpha,
откуда находим, что
\angle ABC=\alpha=36^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2018, предварительный этап, задача 3, 8 класс