13231. Пятиугольник ABCDE
описан около окружности. Углы ABC
, BAE
и CDE
равны по 104^{\circ}
каждый. Найдите угол ADB
.
Ответ. 38^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной окружности в данный пятиугольник, а K
, L
и M
— точки касания с его сторонами AB
, AE
и CD
соответственно. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
\angle KAO=\angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAE=\frac{1}{2}\angle CDE=\angle CDO=\angle LDO.
Тогда прямоугольные треугольники KAO
и LDO
равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, OA=OD
. Аналогично, OB=OD
, поэтому OA=OB=OD
, т. е. точка O
равноудалена от вершин треугольника ADB
, а значит, O
— центр окружности, описанной около этого треугольника, а ADB
— вписанный в эту окружность угол, соответствующий её центральному углу AOB
. Следовательно,
\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAO-\angle ABO)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot52^{\circ})=38^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2016, предварительный этап, задача 8, 10 класс