13232. В равнобедренном треугольнике ABC
со сторонами AB=AC
на сторонах AB
и BC
взяты точки P
и Q
соответственно, причём P
— середина стороны AB
, а углы PQB
и AQC
равны. Пусть M
— основание высоты треугольника BPQ
, проведённой из вершины P
. Найдите отношение отрезков CQ
и QM
.
Ответ. 9.
Решение. Пусть H
— середина основания BC
треугольника ABC
, а D
— точка пересечения прямых PM
и AQ
. Тогда AH
— высота треугольника ABC
, а
\angle DQM=\angle AQH=\angle AQC=\angle PQB=\angle PQM,
поэтому треугольник PQD
равнобедренный, QP=QD
. Кроме того, поскольку PM
средняя линия прямоугольного треугольника AHB
, то
DM=PM=\frac{1}{2}AH.
Из подобия прямоугольных треугольников AQH
и DQM
получаем QH=2QM
, поэтому
BM=HM=QM+QH=QM+2QM=3QM,~CH=BH=2BM=6QM.
Следовательно,
\frac{CQ}{QM}=\frac{CH+QH}{QM}=\frac{6QM+2QM}{QM}=8.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2016, предварительный этап, задача 8, 8 класс