13233. Дана трапеция ABCD
. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно. На основании BC
взята точка E
. Отрезки AE
и ED
пересекают MN
в точках S
и T
соответственно. Площади треугольников AMS
, SET
и TND
равны соответственно 12, 8 и 15. Какова минимально возможная площадь трапеции при данных условиях?
Ответ. 125.
Решение. Обозначим
\frac{AM}{AB}=\frac{AS}{AC}=\frac{DN}{DC}=k,~0\lt k\lt1.
Треугольники AMS
и TND
подобны треугольникам соответственно ABC
и ECD
с коэффициентом k
, а треугольник SET
подобен треугольнику AED
с коэффициентом 1-k
, поэтому
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{k^{2}}S_{\triangle ABC}=\frac{12}{k^{2}},~S_{\triangle ECD}=\frac{1}{k^{2}}S_{\triangle TND}=\frac{15}{k^{2}},
S_{\triangle AED}=\frac{1}{(1-k)^{2}}S_{\triangle SET}=\frac{8}{(1-k)^{2}}.
Тогда
S_{ABCD}=S(k)=\frac{12}{k^{2}}+\frac{15}{k^{2}}+\frac{8}{(1-k)^{2}}=\frac{27}{k^{2}}+\frac{8}{(1-k)^{2}}.
Найдём наименьшее значение функции S(k)
на интервале (0;1)
.
f'(k)=-\frac{2\cdot27}{k^{3}}+\frac{2\cdot8}{(1-k)^{3}}=2\cdot\frac{8k^{3}-27(1-k)^{3}}{k^{3}(1-k)^{3}}=
=\frac{2(2k-3(k-1))(4k^{2}+6k(1-k)+9(1-k)^{2})}{k^{3}(1-k)^{3}}=
=\frac{2(5k-3)(4k^{2}+6k(1-k)+9(1-k)^{2})}{k^{3}(1-k)^{3}}=0~\Leftrightarrow~k=\frac{3}{5}.
При 0\lt k\lt\frac{3}{5}
производная функции S(k)
отрицательна, а при \frac{3}{5}\lt k\lt1
— положительна. Значит, при k=\frac{3}{5}
функция S(k)
принимает наименьшее значение на интервале (0;1)
. Это значение равно
S_{0}=S\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{27}{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}+\frac{8}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}=3\cdot25+2\cdot25=125.