13234. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты точки M
, N
и K
соответственно, причём AM=AK
, BM=BN
, CN=CK
. Найдите наименьший угол треугольника ABC
, если в треугольнике MNK
углы равны 44^{\circ}
, 55^{\circ}
и 81^{\circ}
.
Ответ. 16^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Первый способ. Углы при основаниях MN
и KN
равнобедренных треугольников MBN
и KCN
равны соответственно 90^{\circ}-\frac{\beta}{2}
и 90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
, поэтому
\angle MNK=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)-\left(90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\right)=\frac{\beta+\gamma}{2}=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
откуда
\angle BAC=\alpha=180^{\circ}-2\angle MNK.
Значит, угол BAC
наименьший, если угол MNK
наибольший, т. е.
\angle BAC=180^{\circ}-2\cdot81=180^{\circ}-162^{\circ}=18^{\circ}.
Второй способ. Точки M
, N
и K
— это точки касания окружности с центром O
, вписанной в треугольник ABC
, со сторонами AB
, BC
и CA
соответственно (см. задачу 4728). Поскольку \angle AMO=\angle AKO=90^{\circ}
, то
\angle MNK=\frac{1}{2}\angle MOK=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MAK)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
откуда
\angle BAC=\alpha=180^{\circ}-2\angle MNK.
Значит, угол BAC
наименьший, если угол MNK
наибольший, т. е.
\angle BAC=180^{\circ}-2\cdot81=180^{\circ}-162^{\circ}=18^{\circ}.