13236. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что DC=56
, AD=100
, \angle BAC=\angle ADB
, а \angle BAD=\angle ADC=60^{\circ}
. Найдите AB
.
Ответ. 44.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle ADB=\alpha
. Тогда
\angle CAD=60^{\circ}-\alpha,~\angle ACD=180^{\circ}-60^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha)=60^{\circ}+\alpha,
\angle ABD=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов из треугольника ACD
получаем
\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{AD}{\sin\angle ACD},~\mbox{или}~\frac{56}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}=\frac{100}{\sin(60^{\circ}+\alpha)}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~56\sin(60^{\circ}+\alpha)=100\sin(60^{\circ}-\alpha),~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~14\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha\right)=25\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha\right)=~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~39\sin\alpha=11\sqrt{3}\cos\alpha~\Leftrightarrow~\ctg\alpha=\frac{13\sqrt{3}}{11}.
По теореме синусов из треугольника ABD
получаем
\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{AD}{\sin\angle ABD},~\mbox{или}~\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{100}{\sin(120^{\circ}-\alpha)},
откуда
AB=\frac{100\sin\alpha}{\sin(120^{\circ}-\alpha)}=\frac{100\sin\alpha}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{1}{2}\sin\alpha}=\frac{200}{\sqrt{3}\ctg\alpha+1}=
=\frac{200}{\sqrt{3}\cdot\frac{13\sqrt{3}}{11}+1}=\frac{200\cdot11}{39+11}=44.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2015, предварительный этап, задача 5, 10-11 классы