13245. На диагонали AC
квадрата ABCD
взята точка P
. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника APD
, M
— середина AD
и N
— середина CD
. Докажите, что прямые PN
и MH
перпендикулярны.
Решение. Поскольку H
— точка пересечения высот треугольника APD
, прямая DH
перпендикулярна диагонали AC
квадрата, поэтому точка O
пересечения этой прямой с AC
— центр квадрата, а так как PH\parallel CD
, то \angle OPH=\angle ACD=45^{\circ}
. Значит, треугольник OHP
равнобедренный и прямоугольный.
При одном из поворотов на угол 90^{\circ}
вокруг вокруг центра O
квадрата точка A
перейдёт в точку D
, точка H
— в точку P
, а точка M
— в точку N
. Тогда отрезок MH
перейдёт в отрезок NP
, следовательно, они перпендикулярны.