13248. В треугольнике ABC
с медианой BM
известно, что AB=2
, BM=1
, BC=2\sqrt{2}
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
. Тогда ABCD
— параллелограмм, поэтому \angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD
. Из равнобедренного треугольника ABD
находим,
\cos\angle BAD=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2},
поэтому \angle BAD=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD=\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2012, предварительный этап, задача 10, 10 класс