13249. Найдите основание BC
равнобедренного треугольника ABC
с боковыми сторонами AB=AC=1
, имеющего наибольший радиус вписанной окружности.
Ответ. \sqrt{5}-1
.
Решение. Пусть BC=x
, радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, площадь треугольника равна S
, а полупериметр равен p
. Тогда
r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}x\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}{1+\frac{x}{2}}=\frac{x\sqrt{2-x}}{2\sqrt{2+x}},
где 0\lt x\lt2
.
Заметим, что r
достигает наибольшего значения на промежутке 0\lt x\lt2
тогда и только тогда, когда наибольшего значения на этом промежутке достигает функция
f(x)=r^{2}=\frac{x^{2}(2-x)}{4(2+x)}=\frac{2x^{2}-x^{3}}{4(2+x)}.
Поскольку производная
f'(x)=\frac{(4x-3x^{2})(2+x)-4x-3x^{2})}{4(2+x)}=-\frac{x(x^{2}+2x-4)}{2(2+x)}
имеет на промежутке 0\lt x\lt2
единственный корень x=\sqrt{5}-1
, и при переходе через него меняет знак с «+» на «-», то на этом промежутке достигается наибольшее значение f(x)
, а значит, и r
.