1325. Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника и проходящая через вершину, разбивает этот треугольник на два треугольника. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около этих треугольников, равны.
Указание. Примените обобщённую теорему синусов (R=\frac{a}{2\sin\alpha})
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через вершину A
равнобедренного треугольника ABC
, пересекает его основание в точке D
. Если R_{1}
и R_{2}
— радиусы описанных окружностей треугольников ABD
и ACD
, то
R_{1}=\frac{AD}{2\sin\angle B},~R_{2}=\frac{AD}{\sin\angle C},
а так как \angle B=\angle C
, то R_{1}=R_{2}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 7.2.22, с. 98
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.2, с. 289