13252. В равнобедренном треугольнике ABC
биссектриса BL
равна основанию BC
. На биссектрисе угла BAC
взята такая точка K
, что отрезки KC
и BL
пересекаются и равны. Найдите угол между этими отрезками.
Ответ. 84^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда AM
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
, поэтому KB=KC=BL=BC
. Значит, треугольник BKC
равносторонний.
Обозначим \angle ABL=\alpha
. Тогда
\angle BLC=\angle BCL=\angle BCA=\angle ABC=2\alpha.
Сумма углов треугольника BCL
равна 180^{\circ}
, т. е.
\alpha+2\alpha+2\alpha=5\alpha=180^{\circ},
откуда \angle CBL=\alpha=36^{\circ}
.
Пусть P
— точка пересечения BL
и CK
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle KPL=\angle BKP+\angle KBL=\angle BKP+(\angle KBC-\angle CBL)=
=60^{\circ}+60^{\circ}-36^{\circ}=84^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2014, отборочный этап, задача 8, 6-7 классы