13259. Дан прямоугольник ABCD
со сторонами AB=CD=a
и AD=BC=b
. Найдите наименьшее значение отношения \frac{MA+MC}{MB+MD}
, если точка M
лежит в плоскости прямоугольника ABCD
.
Ответ. \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}
.
Решение. Применив неравенство Птолемея (см. задачу 10938) к четырёхугольникам ABCM
и ADCM
, получим
AC\cdot MB\leqslant MC\cdot AB+MA\cdot BC=aMC+bMA,
AC\cdot MD\leqslant MC\cdot AD+MA\cdot DC=bMC+aDC.
Сложив эти неравенства, получим
AC(MB+MD)\leqslant(a+b)(MA+MC),
откуда
\frac{MA+MC}{MB+MD}\geqslant\frac{AC}{a+b}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a+b}.
В неравенстве Птолемея для четырёхугольника ABCM
равенство достигается тогда и только тогда, когда точка M
лежат на дуге ADC
описанной окружности прямоугольника ABCD
, а второе — тогда и только тогда, когда точка M
лежит на дуге ABC
этой окружности. Значит, оба неравенства обращаются в равенство тогда и только тогда, когда M
совпадает с одним из общих концов этих дуг, т. е. с A
или C
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 8, задача 4528, с. 431