13268. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
и окружность \Gamma
с центром B
и радиусом BC
. Окружность \gamma
, проходящая через точки A
и B
, пересекает окружность \Gamma
в различных точках X
и Y
. Точки E
и F
— проекции X
и Y
на прямые CY
и CX
соответственно. Докажите, что прямая CA
проходит через середину отрезка EF
.
Решение. Пусть Z
— точка на окружности \gamma
, диаметрально противоположная точке B
. Тогда \angle BAZ=90^{\circ}
, а так как \angle BAC=90^{\circ}
, то точки C
, A
и Z
лежат на одной прямой, поэтому достаточно доказать, что прямая прямая CZ
проходит через середину отрезка EF
.
Точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром BZ
, поэтому
\angle BXZ=\angle BYZ=90^{\circ}.
Значит, прямые ZX
и ZY
касаются окружности \Gamma
в точках X
и Y
соответственно, а так как \Gamma
— описанная окружность треугольника CXY
, то CZ
— симедиана этого треугольника (см. задачу 10499).
Из точек E
и F
отрезок XY
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром XY
. Тогда EXFY
— вписанный четырёхугольник, поэтому
\angle CFE=\angle XFE=\angle XYE=\angle XYC.
Тогда треугольники CEF
и CXY
с общим углом при вершине C
подобны по двум углам.
При композиции симметрии относительно биссектрисы угла C
и гомотетии с центром C
, переводящей треугольник CXY
в треугольник CEF
, середина M
отрезка XY
сначала переходит в точку, лежащую на симедиане CZ
, а затем — в точку также лежащую на CZ
. При этом отрезок XY
переходит в EF
, поэтому точка M
переходит в точку пересечения CZ
и EF
. Значит, эта точка — середина отрезка EF
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 6, задача 4503, с. 273