1327. Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен \alpha
, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
.
Ответ. 2(r\ctg\frac{\alpha}{2}+2R\sin\alpha)
.
Указание. Примените обобщённую теорему синусов (a=2R\sin\alpha)
и теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Решение. Пусть угол A
треугольника ABC
равен \alpha
, O
— центр вписанной окружности, K
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
, M
— со стороной AC
. Тогда
BC=2R\sin\alpha,~AK=OK\ctg\frac{\alpha}{2}=r\ctg\frac{\alpha}{2}.
Поскольку AM=AK
и BK+CM=BC
, то
AB+AC+BC=2AK+2BC=2r\ctg\frac{\alpha}{2}+4R\sin\alpha.
