13270. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найдите площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.
Ответ. \frac{9}{4}
.
Решение. Пусть вершины K
и L
квадрата ABCD
лежат на основании AB
равнобедренного треугольника ABC
, вершины M
и N
— на боковых сторонах BC
и AC
соответственно, а O
— общий центр тяжести треугольника и квадрата, т. е. точка пересечения медиан треугольника и точка пересечения диагоналей квадрата.
Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, его высота CH
является медианой, а также пересекает сторону MN
квадрата в её середине P
. Тогда
PH=1,~PO=OH=\frac{1}{2}PH=\frac{1}{2},~CH=3OH=\frac{3}{2}.
Треугольник MLB
подобен треугольнику CHB
, поэтому \frac{BL}{BH}=\frac{2}{3}
. Значит,
BH=3LH=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=CH.
Треугольник CHB
— равнобедренный и прямоугольный, следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle CHB}=BH\cdot CH=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{4}.