1328. Найдите периметр четырёхугольника ABCD
, в котором AB=CD=a
, \angle BAD=\angle BCD=\alpha\lt90^{\circ}
, BC\ne AD
.
Ответ. 2a(1+\cos\alpha)
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим AD=x
, BC=y
. По теореме косинусов из треугольников ABD
и CBD
находим, что
BD^{2}=a^{2}+x^{2}-2ax\cos\alpha,~BD^{2}=a^{2}+y^{2}-2ay\cos\alpha,
поэтому
a^{2}+x^{2}-2ax\cos\alpha=a^{2}+y^{2}-2ay\cos\alpha.
Тогда
x^{2}-y^{2}=2a(x-y)\cos\alpha,
а так как x\ne y
, то x+y=2a\cos\alpha
. Следовательно,
AB+CD+AD+BC=a+a+x+y=2a+2a\cos\alpha=2a(1+\cos\alpha).