13280. В равнобедренном треугольнике ABC
провели биссектрису BP
. Докажите, что если \angle BAC=100^{\circ}
, то AP+PB=BC
.
Решение. Углы при основании данного треугольника равны по 40^{\circ}
. На основании BC
отложим отрезок BQ=BP
. Тогда углы при основании PQ
равнобедренного треугольника BPQ
равны по 80^{\circ}
, а
\angle ABP=\angle CBP=20^{\circ}.
Поскольку
\angle BQP+\angle BAP=80^{\circ}+100^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник APQB
вписан в окружность. Равные вписанные углы ABP
и QBP
этой окружности опираются на равные хорды, т. е. AP=PQ
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle APB=\angle PBC+\angle PCQ=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}.
Значит,
\angle CPQ=180^{\circ}-\angle APB-\angle BPQ=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}=\angle PCQ,
поэтому треугольник CPQ
равнобедренный, QC=QP
. Следовательно,
AP+PB=PQ+BQ=QC+BQ=BC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — 2010-2011, заключительный этап, задача 8, 7-9 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А., Горяшин Д. В. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2011). — М.: МЦНМО, 2011. — № 9.8, с. 105