13282. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
углы A
, C
, E
прямые. На стороне AE
выбрана точка M
так, что \angle ABM+90^{\circ}=\angle CBM
и \angle EDM+90^{\circ}=\angle CDM
. Докажите, что прямая CM
делит периметр пятиугольника ABCDE
пополам.
Решение. Пусть K
— точка, симметричная точке A
относительно прямой BM
, а L
— точка, симметричная точке E
относительно прямой DM
. Тогда треугольник BKM
равен треугольнику BAM
, а треугольник DLM
— треугольнику DEM
. Из условия следует, что
\angle CBK=\angle CBM-\angle KBM=\angle CBM-\angle ABM=90^{\circ}.
Аналогично, \angle CDL=90^{\circ}
, а так как три угла четырёхугольника BCDN
(N
— точка пересечения прямых BK
и DL
) прямые, это прямоугольник. Тогда три угла четырёхугольника KMLN
прямые, значит, и это прямоугольник.
Отсюда получаем
AB=BK=BN+NK=CD+LM=CD+EM,
DE=DL=DN+NL=BC+MK=BC+AM.
Следовательно,
AM+AB+BC=AM+(CD+EM)+BC=
=(BC+AM)+CD+EM=DE+CD+EM.
Что и требовалось доказать.