13283. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, а точки M
и N
— на сторонах AB
и AC
соответственно. Обозначим S_{\triangle BPC}=x
, S_{\triangle APC}=y
и S_{\triangle APB}=x
. Докажите, что точка P
лежит на прямой MN
тогда и только тогда, когда
y\cdot\frac{BM}{AM}+z\cdot\frac{CN}{AN}=x.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle PAC=\theta
и \angle PAB=\omega
. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, поэтому
\theta+\omega=\alpha.
Точка P
лежит на прямой MN
тогда и только тогда, когда
S_{\triangle APN}+S_{\triangle APM}=S_{\triangle AMN}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AP\cdot AN\sin\theta+\frac{1}{2}AM\cdot AP\sin\omega=\frac{1}{2}AM\cdot AN\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\cdot\frac{AP}{AM}\cdot\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot\frac{AP}{AN}\cdot\sin\omega=\frac{1}{2}\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\frac{AP}{AM}\cdot\sin\theta+\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\frac{AP}{AN}\cdot\sin\omega=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AP\cdot AC\sin\theta\cdot\frac{AB}{AM}+\frac{1}{2}AP\cdot AB\sin\omega\cdot\frac{AC}{AN}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~S_{\triangle APC}\cdot\frac{AB}{AM}+S_{\triangle APB}\cdot\frac{AP}{AN}=S_{\triangle ABC}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~y\cdot\frac{AB}{AM}+z\cdot\frac{AC}{AN}=x+y+z~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~y\cdot\frac{AM+MB}{AM}+z\cdot\frac{AN+NC}{AN}=x+y+z~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~y\left(1+\frac{MB}{AM}\right)+z\left(1+\frac{NC}{AN}\right)=x+y+z~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~y\cdot\frac{BM}{AM}+z\cdot\frac{CN}{AN}=x.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 5, задача 4495, с. 235