13283. Точка
P
лежит внутри треугольника
ABC
, а точки
M
и
N
— на сторонах
AB
и
AC
соответственно. Обозначим
S_{\triangle BPC}=x
,
S_{\triangle APC}=y
и
S_{\triangle APB}=x
. Докажите, что точка
P
лежит на прямой
MN
тогда и только тогда, когда
y\cdot\frac{BM}{AM}+z\cdot\frac{CN}{AN}=x.

Решение. Обозначим
\angle BAC=\alpha
,
\angle PAC=\theta
и
\angle PAB=\omega
. Точка
P
лежит внутри треугольника
ABC
, поэтому
\theta+\omega=\alpha.

Точка
P
лежит на прямой
MN
тогда и только тогда, когда
S_{\triangle APN}+S_{\triangle APM}=S_{\triangle AMN}~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AP\cdot AN\sin\theta+\frac{1}{2}AM\cdot AP\sin\omega=\frac{1}{2}AM\cdot AN\sin\alpha~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}\cdot\frac{AP}{AM}\cdot\sin\theta+\frac{1}{2}\cdot\frac{AP}{AN}\cdot\sin\omega=\frac{1}{2}\sin\alpha~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\frac{AP}{AM}\cdot\sin\theta+\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\frac{AP}{AN}\cdot\sin\omega=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~\frac{1}{2}AP\cdot AC\sin\theta\cdot\frac{AB}{AM}+\frac{1}{2}AP\cdot AB\sin\omega\cdot\frac{AC}{AN}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~S_{\triangle APC}\cdot\frac{AB}{AM}+S_{\triangle APB}\cdot\frac{AP}{AN}=S_{\triangle ABC}~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~y\cdot\frac{AB}{AM}+z\cdot\frac{AC}{AN}=x+y+z~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~y\cdot\frac{AM+MB}{AM}+z\cdot\frac{AN+NC}{AN}=x+y+z~\Leftrightarrow~


~\Leftrightarrow~y\left(1+\frac{MB}{AM}\right)+z\left(1+\frac{NC}{AN}\right)=x+y+z~\Leftrightarrow~

~\Leftrightarrow~y\cdot\frac{BM}{AM}+z\cdot\frac{CN}{AN}=x.

Отсюда следует утверждение задачи.