13286. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30^{\circ}
градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
Решение. Пусть углы при вершинах C
и A
треугольника ABC
равны 90^{\circ}
и 30^{\circ}
соответственно, а AK
и CL
— биссектрисы этого треугольника. Докажем, что CL=\frac{1}{2}AK
.
Достроим треугольник ACL
до параллелограмма AMCL
. Тогда
AM=CL,~\angle CAM=\angle ACL=45^{\circ},~\angle ACM=\angle CAL=30^{\circ},
поэтому
\angle KAM=\angle KAC+\angle CAM=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ},
\angle KCM=\angle KCA+\angle ACM=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Сумма противоположных углов KAM
и KCM
четырёхугольника AKCM
равна 180^{\circ}
, значит, около него можно описать окружность. Поскольку \angle ACK=90^{\circ}
, отрезок AK
— диаметр этой окружности. Тогда \angle AMK=90^{\circ}
, а так как \angle AKM=\angle ACM=30^{\circ}
как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то в прямоугольном треугольнике AMK
катет AM
, лежащий против угла в 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы AK
. Следовательно,
CL=AM=\frac{1}{2}AK.
Что и требовалось доказать.