13287. На сторонах равностороннего треугольника ABC
построены во внешнюю сторону треугольники AB'C
, CA'B
, BC'A
так, что получился шестиугольник AB'CA'BC'
, в котором каждый из углов A'BC'
, C'AB'
, B'CA'
больше 120 градусов, а для сторон выполняются равенства AB'=AC'
, BC'=BA'
, CA'=CB'
. Докажите, что из отрезков AB'
, BC'
, CA'
можно составить треугольник.
Решение. Обозначим AB'=AC'=d_{1}
, BC'=BA'=d_{2}
, CA'=CB'=d_{3}
. Без ограничения общности можно считать, что d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant d_{3}
.
При повороте на 60^{\circ}
вокруг точки A
, переводящем C
в B
, точка B'
переходит в некоторую точку B''
, отрезок AB'
— в отрезок AB''
, треугольник AB'C
— в треугольник AB''B
. Поскольку AB''=AB'=AC'=d_{1}
, треугольник C'AB''
равнобедренный. При этом
\angle C'AB''=\angle C'AB'-\angle B'AB''=\angle C'AB'-60^{\circ}\gt120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.
Пусть C'B''=d_{0}
. Угол при вершине равнобедренного треугольника больше 60^{\circ}
, поэтому каждый из углов при основании меньше 60^{\circ}
, а так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то d_{0}\gt d_{1}
. Кроме того, по неравенству треугольника
d_{2}+d_{3}=BC'+BB''\gt C'B''=d_{0}\gt d_{1}.
Следовательно, из отрезков d_{1}
, d_{2}
и d_{3}
, наибольший из которых меньше суммы двух других, можно составить треугольник. Что и требовалось доказать.