1329. На окружности, описанной около треугольника ABC
, взята точка M
. Прямая MA
пересекается с прямой BC
в точке L
, а прямая CM
— с прямой AB
в точке K
. Известно, что AL=a
, BK=b
, CK=c
. Найдите BL
.
Ответ. \frac{ab}{c}
.
Указание. Примените теорему синусов к треугольникам ABL
и BCK
.
Решение. Предположим, что точка M
лежит на дуге BC
, не содержащей точку A
. Обозначим
\angle BAM=\angle BCM=\alpha,~\angle ABL=\varphi.
По теореме синусов из треугольников ABL
и BCK
находим, что
\frac{BL}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\varphi},~\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{c}{\sin(180^{\circ}-\varphi)}.
Поскольку \sin(180^{\circ}-\varphi)=\sin\varphi
, то, разделив почленно полученные равенства, найдём, что \frac{BL}{b}=\frac{a}{c}
, откуда BL=\frac{ab}{c}
.
Аналогично для любого другого положения точки M
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 7.2.27, с. 98