13291. Точки P
и Q
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём BP=CQ
. Отрезки BQ
и CP
пересекаются в точке R
. Описанные окружности треугольников BPR
и CQR
вторично пересекаются в точке S
. Докажите, что AS
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Четырёхугольники BPRS
и CQRS
вписанные, поэтому
\angle BPS=\angle BRS=180^{\circ}-\angle QRS=\angle QCS.
Аналогично, \angle CQS=\angle PBS
. Значит, треугольники BSP
и QSC
равны по стороне (BP=CQ
) и двум прилежащим к ней углам. Тогда SP=SC
.
Поскольку
\angle APS=180^{\circ}-\angle BPS=180^{\circ}-\angle QCS=180^{\circ}-\angle ACS,
четырёхугольник APSC
тоже вписан в окружность. Вписанные в эту окружность углы PAS
и CAS
опираются на равные хорды SP=SC
. Следовательно,
\angle BAS=\angle PAS=\angle CAS,
т. е. AS
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 5, задача OC459, с. 215
Источник: Польские математические олимпиады. — 2017