13293. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота BH
. Оказалось, что CH=AB+AH
. Сколько градусов составляет угол BAC
, если \angle ABC=84^{\circ}
?
Ответ. 64^{\circ}
.
Решение. Отметим на отрезке CH
точку K
, для которой AH=HK
. Тогда из условия следует, что AB=CK
.
В треугольнике ABK
высота BH
совпадает с медианой, поэтому он равнобедренный, AB=BK
и \angle BAH=\angle BKA
.
Пусть \angle ACB=x
. Поскольку CK=AB=BK
, треугольник BCK
тоже равнобедренный, и
\angle KBC=\angle KCB=x.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle KAB=\angle AKB=x+x=2x,~\angle ABC=180^{\circ}-3x.
Из равенства
84^{\circ}=\angle ABC=180^{\circ}-3x
находим, что x=32^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABC=3x=64^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, школьный этап, задача 7, 8 класс