13299. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
, в котором \angle A=2\angle B
. Биссектриса угла C
пересекает сторону AB
в точке E
. Докажите, что AD+AE=BE
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\alpha
, тогда по условию \angle DAB=2\alpha
. На продолжении отрезка AB
за точку A
отметим точку F
, для которой AD=AF
. Тогда треугольник AFD
равнобедренный, и его углы при основании равны. Поскольку
\angle FAD=180^{\circ}-2\alpha,
получаем
\angle AFD=\angle ADF=\alpha,
а так как четырёхугольник ABCD
вписанный, то
\angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle ADF.
Следовательно, точки C
, D
и F
лежат на одной прямой. Тогда
\angle CFB=\alpha=\angle CBF,
поэтому треугольник FCB
равнобедренный. Значит, его биссектриса CE
совпадает с медианой. Таким образом,
BE=EF=AD+AE.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, региональный этап, второй день, задача 7, 10 класс