13302. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
отметили точки K
, L
, M
и N
соответственно. Оказалось, что KLMN
— параллелограмм. Найдите отношение KP:MQ
, где P
и Q
середины сторон AB
и CD
соответственно.
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть BC\lt AD
, а точка M
лежит на отрезке CQ
.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма KLMN
. Тогда O
середина середина его диагоналей KM
и LN
, а по теореме Фалеса средняя линия PQ
трапеции проходит через точку O
.
Через точку Q
параллельно AB
проведём прямую. Она пересечёт отрезок OM
в некоторой точке S
. Треугольники SOM
и POK
равны по стороне (OM=OK
) и двум прилежащим к ней углам. Значит, MS=KP
.
Треугольник SMQ
равнобедренный, т. е. его углы MSQ
и MQS
равны углам при основании AD
равнобедренной трапеции ABCD
. Значит, MQ=MS=KP
. Следовательно, KP:MQ=1:1
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 6, вариант 2, 8-9 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 116