13307. Точки E
и N
лежат на сторонах соответственно AB
и CD
квадрата ABCD
, а точки F
и M
— на стороне BC
, причём треугольники AMN
и DEF
равносторонние. Отрезки AN
и DE
пересекаются в точке P
, а отрезки AM
и EF
— в точке Q
. Докажите, что PQ=FM
.
Решение. Заметим, что прямоугольные треугольники ABM
, ADN
, CDN
и DAE
с острыми углами 15^{\circ}
и 75^{\circ}
равны, поэтому
AE=BM=FC=ND.
Значит, AEND
— прямоугольник, поэтому его диагонали AN
и DE
равны и делят друг друга пополам. Тогда FP\perp DE
, треугольник FPE
прямоугольный, а так как \angle PEF=60^{\circ}
, то \angle PFE=30^{\circ}
. Кроме того,
BF=BC-CF=AB-AE=BE,
поэтому прямоугольный треугольник FBE
— равнобедренный. Значит,
\angle BFE=45^{\circ},~\angle PFM=\angle PFE+\angle BFE=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}=\angle AMB.
Следовательно, PF\parallel QM
, а PQMF
— трапеция.
Из точек A
и E
отрезок PQ
виден под одним и тем же углом (60^{\circ}
), значит, PAEQ
— вписанный четырёхугольник. Тогда
\angle FPQ=\angle AQP=\angle AEP=75^{\circ}=\angle PFM,
поэтому трапеция PQMF
равнобедренная. Следовательно, PQ=FM
.