13309. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
отмечены точки E
и F
соответственно, причём AE:EB=1:3
и CD:DB=1:2
. Найдите величину \frac{EF}{EC}+\frac{AF}{FD}
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку C
параллельно AB
, пересекает прямую AD
в точке P
. Из подобия треугольников CDP
и BDA
находим, что
CP=AB\cdot\frac{CD}{DB}=\frac{1}{2}AB.
Из подобия треугольников AFE
и PFC
находим, что
\frac{EF}{FC}=\frac{AE}{CP}=\frac{\frac{1}{4}AB}{\frac{1}{2}AB}=\frac{1}{2}.
Пусть прямая, проведённая через точку A
параллельно BC
, пересекает прямую CE
в точке Q
. Из подобия треугольников AEQ
и BEC
находим, что
AQ=BC\cdot\frac{AE}{EB}=\frac{1}{3}BC=CD.
Из равенства треугольников AFQ
и DFC
по стороне и двум прилежащим к ней углам получаем, что AF=FD
.
Следовательно,
\frac{EF}{EC}+\frac{AF}{FD}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 3, задача MA39, с. 104