13311. Трапеция ABCD
с основанием AD=6
вписана в окружность. Касательная к окружности в точке A
пересекает прямые BD
и CD
в точках M
и N
соответственно. Найдите AN
, если AB\perp MD
и AM=3
.
Ответ. 12.
Решение. Вписанная в окружность трапеция — равнобедренная, а диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с основанием, поэтому
\angle DAC=\angle BDA=\angle MDA.
Поскольку \angle ABD=90^{\circ}
, из точки B
, лежащей на окружности, отрезок AD
виден под прямым углом, значит, AD
— диаметр окружности. Тогда \angle ACD=90^{\circ}
, поэтому AC
— высота прямоугольного треугольника ADN
. Тогда
\angle DNA=\angle DAC=\angle MDA.
Значит, прямоугольные треугольники DAN
и DAB
подобны, поэтому \frac{AN}{AD}=\frac{AD}{AM}
. Следовательно,
AN=\frac{AD^{2}}{AM}=\frac{36}{3}=12.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 3, вариант 5, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 124