13315. В треугольнике со сторонами AB=BC=5
, AC=6
на основании AC
выбрана точка N
так, что AN:NC=2:1
. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN
и CBN
.
Ответ. \frac{3}{4}\sqrt{17}
.
Решение. Пусть перпендикуляры, восставленные из середин P
и Q
отрезков соответственно AN
и CN
, пересекают серединный перпендикуляр к общей стороне BN
треугольников ABN
и CBN
в точках O_{1}
и O_{2}
соответственно. Тогда O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей этих треугольников, а O_{1}O_{2}
— искомый отрезок.
Высота BH
равнобедренного треугольника ABC
является его медианой, поэтому
HQ=CH-CQ=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{3}AC=\frac{1}{6}AC=1.
Обозначим \angle HBQ=\alpha
. Из прямоугольного треугольника BHQ
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle HBQ=\frac{HQ}{BH}=\frac{HQ}{\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{25-9}}=\frac{1}{4}.
Тогда
\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{16}}}=\frac{4}{\sqrt{17}}.
Опустим перпендикуляр O_{1}F
на прямую O_{2}Q
. Тогда острый угол FO_{1}O_{2}
прямоугольного треугольника FO_{1}O_{2}
равен углу HBQ
(углы с соответственно перпендикулярными сторонами), т. е. \alpha
, а так как PO_{1}FQ
— прямоугольник, то
O_{1}F=PQ=\frac{1}{2}AN+\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}(AN+CN)=\frac{1}{2}AC=3.
Следовательно,
O_{1}O_{2}=\frac{O_{1}F}{\cos\alpha}=\frac{3}{\frac{4}{\sqrt{17}}}=\frac{3}{4}\sqrt{17}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 5, вариант 8, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 126