13317. Пятиугольник ABCDE
описан около окружности. Углы при его вершинах A
, C
и E
равны 100^{\circ}
. Найдите угол ACE
.
Ответ. 40^{\circ}
. Несложно понять, что такой пятиугольник существует.
Решение. Первый способ. Отрезки, соединяющие вершины с центром O
вписанной окружности \omega
, лежат на биссектрисах углов пятиугольника. Поэтому
\angle OAE=\angle OEA=50^{\circ},~\angle AOE=80^{\circ}.
Пусть окружность \omega
касается сторон BC
и AE
в точках K
и M
соответственно. Тогда \angle OCK=50^{\circ}
, и прямоугольные треугольники OMA
, OKC
и OME
равны по катету и противолежащему острому углу. Значит, OA=OC=OE
, т. е. точки A
, C
и E
лежат на окружности с центром O
. Следовательно,
\angle ACE=\frac{1}{2}\angle AOE=40^{\circ}.
Второй способ. Поскольку A
, C
, E
равны, все касательные к окружности из этих вершин равны. Поскольку касательные из вершины B
тоже равны, треугольники ABC
и CDE
равнобедренные. Сумма углов B
и D
равна
180^{\circ}(5-2)-3\cdot100^{\circ}=540^{\circ}-3\cdot100^{\circ}=240^{\circ},
поэтому
\angle ACB+\angle ECD=(2\cdot180^{\circ}-240^{\circ}):2=60^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACE=100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Турнир городов. — 2022-2023, XLIV, осенний тур, базовый вариант, 9 октября, задача 3, 8-9 класс