13323. Вокруг треугольника ABC
описана окружность \Omega
. Точки D
и E
— середины сторон AC
и AB
соответственно, CF
— биссектриса треугольника ABC
. Лучи DE
и CF
пересекаются в точке G
, принадлежащей \Omega
. Найдите углы треугольника ABC
, если известно, что \frac{CF}{DF}=\frac{1}{2}
.
Ответ. \angle B=90^{\circ}
, \angle C=\arccos\frac{1}{7}
, \angle A=\arcsin\frac{1}{7}
.
Решение. Поскольку CG
— биссектриса вписанного угла ACB
, дуги AG
и BG
равны, а также равны хорды AG
и BG
. Значит, треугольник AGB
равнобедренный, и его медиана GE
является также и высотой. Отрезок DE
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому DE\parallel BC
и \angle ABC=\angle AED=90^{\circ}
как соответственные при параллельных прямых и секущей.
Пусть CB=2a
, \angle ACB=2\alpha
. Тогда
CF=\frac{2a}{\cos\alpha},~AC=\frac{2a}{\cos2\alpha},~CD=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{\cos2\alpha},~DF=2CF=\frac{4a}{\cos\alpha}.
По теореме косинусов из треугольника CDF
получаем
DF^{2}=CF^{2}+CD^{2}-2CF\cdot CD\cos\alpha,
или
\frac{16a^{2}}{\cos^{2}\alpha}=\frac{4a^{2}}{\cos^{2}\alpha}+\frac{a^{2}}{\cos^{2}2\alpha}-2\cdot\frac{2a}{\cos\alpha}\cdot\frac{a}{\cos2\alpha}\cdot\cos\alpha~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{12}{\cos^{2}\alpha}-\frac{1}{\cos^{2}2\alpha}+\frac{4}{\cos2\alpha}=0.
После умножения обеих частей уравнения на 2\cos^{2}2\alpha\cos^{2}\alpha
получим
24\cos^{2}2\alpha-2\cos^{2}\alpha+8\cos2\alpha\cos^{2}\alpha=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~24\cos^{2}2\alpha-(1+\cos2\alpha)+4\cos2\alpha(1+\cos2\alpha)=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~28\cos^{2}2\alpha+3\cos2\alpha-1=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~28\left(\cos2\alpha+\frac{1}{4}\right)\left(\cos2\alpha-\frac{1}{7}\right)=0,
а так как \cos2\alpha\gt0
как острый угол прямоугольного треугольника, то \cos2\alpha=\frac{1}{7}
. Следовательно,
\angle ACB=2\alpha=\arccos\frac{1}{7},~\angle BAC=90^{\circ}-\angle ACB=\arcsin\frac{1}{7}.
Примечание. Если \frac{CF}{DF}=\frac{2}{11}
(вариант 7), а остальные условия те же, то \angle B=90^{\circ}
, \angle C=\arccos\frac{1}{17}
, \angle A=\arcsin\frac{1}{17}
.
Если \frac{CF}{DF}=\sqrt{\frac{2}{23}}
(вариант 8), а остальные условия те же, то \angle B=90^{\circ}
, \angle C=\arccos\frac{1}{11}
, \angle A=\arcsin\frac{1}{11}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 5, вариант 5, 11 класс