13325. Дан прямоугольный треугольник ABC
. Окружность, касающаяся прямой BC
в точке B
, пересекает высоту CD
, проведённую к гипотенузе, в точке F
, а катет AC
— в точке E
. Известно, что AB\parallel EF
, AD:DB=3:1
. Найдите отношение площади треугольника ABC
к площади треугольника CEF
.
Ответ. \frac{16}{3}
.
Решение. Соединим точку B
с точками E
и F
. Из параллельности AB
и EF
следует, что \angle ABE=\angle FEB
, а из теоремы об угле между касательной и хордой — \angle CBF=\angle FEB
, поэтому \angle ABE=\angle CBF
. Значит, BE
и BF
— соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC
и CBD
. Тогда \frac{AE}{CE}=\frac{CF}{DF}
, а так как по теореме Фалеса \frac{AE}{EC}=\frac{DF}{CF}
, то \frac{DF}{CF}=\frac{CF}{DF}
, откуда CF=DF
, т. е. F
— середина высоты CD
, и EF
— средняя линия треугольника ACD
. Значит, S_{\triangle ACD}=4S_{\triangle CEF}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CEF}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{\frac{1}{4}S_{\triangle ACD}}=\frac{4\cdot\frac{1}{2}AB\cdot CD}{\frac{1}{2}AD\cdot CD}=\frac{4AB}{AD}=
=\frac{4(AD+DB)}{AD}=4\left(1+\frac{DB}{AD}\right)=4\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{16}{3}.
Примечание. Если \frac{AD}{DB}=\frac{5}{2}
(вариант 1), а остальные условия те же, то \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle CEF}}=\frac{28}{5}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 2, вариант 1, 11 класс