13326. Дан прямоугольный треугольник ABC
. Окружность, касающаяся прямой AC
в точке A
, пересекает высоту CD
, проведённую к гипотенузе, в точке E
, а катет BC
— в точке F
. Известно, что AB\parallel EF
, AB:BD=1{,}3
. Найдите отношение площади треугольника ACD
к площади треугольника CEF
.
Ответ. \frac{6}{5}
.
Решение. Соединим точку A
с точками E
и F
. Из параллельности AB
и EF
следует, что \angle AFE=\angle BAF
, а из теоремы об угле между касательной и хордой — \angle CAE=\angle AFE
, поэтому \angle BAF=\angle CAE
. Значит, AF
и AE
— соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC
и ACD
. Тогда \frac{BF}{FC}=\frac{CE}{ED}
, а так как по теореме Фалеса \frac{BF}{FC}=\frac{ED}{EC}
, то \frac{CE}{ED}=\frac{ED}{CE}
, откуда CE=ED
, т. е. E
— середина высоты CD
, и EF
— средняя линия треугольника BCD
. Значит, S_{\triangle BCD}=4S_{\triangle CEF}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle CEF}}=\frac{S_{\triangle ACD}}{\frac{1}{4}S_{\triangle BCD}}=\frac{4\cdot\frac{1}{2}AD\cdot CD}{\frac{1}{2}BD\cdot CD}=\frac{4AD}{BD}=4\cdot\frac{3}{10}=\frac{6}{5}.
Примечание. Если \frac{AB}{BD}=1{,}4
(вариант 1), а остальные условия те же, то \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle CEF}}=\frac{8}{5}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 2, вариант 1, 11 класс