13327. Центр окружности \omega
лежит на окружности \Omega
, хорда AB
окружности \Omega
касается \omega
в точке C
так, что AC:CB=7
. Найдите AB
, если известно, что радиусы \omega
и \Omega
равны 1 и 5 соответственно.
Ответ. 8.
Решение. Пусть точки D
и E
— центры окружностей \omega
и \Omega
соответственно, а точки K
и M
— проекции точки E
на прямые CD
и AB
соответственно. Поскольку окружность \omega
касается прямой AB
в точке C
, угол KCM
прямой; тогда в четырёхугольнике CMEK
три угла прямые, и он прямоугольник. Тогда CK=EM
и EK=CM
.
Пусть AC=x
, BC=7x
. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому
AM=BM=4x,~MC=AM-AC=4x-x=3x.
Из прямоугольного треугольника AME
с гипотенузой EA=5
и катетом AM=4x
и получаем
EM=\sqrt{EA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{25-16x^{2}},
а из прямоугольного треугольника DKE
с гипотенузой DE=5
и катетом
DK=DC+CK=DC+EM=1+\sqrt{25-16x^{2}}
получаем
ED^{2}=DK^{2}+EK^{2}=DK^{2}+MC^{2},
или
25=(1+\sqrt{25-16x^{2}})^{2}+9x^{2}.
После очевидных упрощений получаем уравнение
49x^{4}+50x^{2}-99=0.
Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень x=1
. Следовательно,
AB=8x=8.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 3, вариант 9, 10 класс