13328. Треугольник ABC
вписан в окружность. Пусть M
— середина той дуги AB
описанной окружности, которая не содержит точку C
; N
— середина той дуги AC
описанной окружности, которая не содержит точку B
. Найдите расстояние от вершины A
до центра окружности, вписанной в треугольник ABC
, если расстояния от точек M
и N
до сторон AB
и AC
соответственно равны 4,5 и 2.
Ответ. 6
Решение. Пусть отрезок MN
пересекает стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно; I
— центр вписанной окружности треугольника; X
и Y
— проекции точек M
и N
на стороны AB
и AC
соответственно. Обозначим также точку пересечения прямых AI
и MN
через T
.
Углы AMN
и CAN
равны как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги; аналогично \angle BAM=\angle ANM
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle APQ=\angle PAM+\angle PMA,~\angle AQP=\angle QAN+\angle QNA,
поэтому \angle APQ=\angle AQP
. Значит, треугольник APQ
равнобедренный, AI
— его биссектриса. Следовательно, AI\perp PQ
.
Рассмотрим три пары подобных треугольников — AQN
и MPA
, QAT
и QNY
, ATP
и MXP
. Их соответствующие стороны пропорциональны, т. е.
\frac{AQ}{MP}=\frac{QN}{AP},~\frac{AT}{YN}=\frac{AQ}{QN},~\frac{MX}{AT}=\frac{MP}{AP}.
Разделив второе равенство на третье, получаем
\frac{AT^{2}}{MX\cdot YN}=\frac{AP\cdot AQ}{MP\cdot NQ},
а так как из первого равенства следует, что AP\cdot AQ=MP\cdot QN
, то
AT^{2}=MX\cdot YN=\frac{9}{2}\cdot2=9.
Остаётся отметить, что \angle MNB=\angle MNA
(так как эти углы опираются на равные дуги), поэтому NM
— биссектриса угла ANB
. Значит, в треугольнике ANI
отрезок NT
— биссектриса и высота, треугольник равнобедренный, а NT
также является его медианой, и AT=TI
. Следовательно,
AI=2AT=2\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 7, вариант 9, 10 класс