1333. На прямой расположены точки A
, B
, C
и D
, следующие друг за другом в указанном порядке. Известно, что BC=3
, AB=2CD
. Через точки A
и C
проведена некоторая окружность, а через точки B
и D
— другая. Их общая хорда пересекает отрезок BC
в точке K
. Найдите BK
.
Ответ. 2.
Указание. Примените дважды теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Решение. Пусть CD=a
, AB=2a
. Обозначим BK=x
. Тогда
KC=3-x,~KD=DC+KC=a+3-x,~AK=AB+BK=2a+x.
Пусть MN
— общая хорда указанных окружностей. Тогда
AK\cdot KC=MK\cdot NK=BK\cdot KD,
или
(2a+x)(3-x)=x(a+3-x).
Из этого уравнения находим, что x=2
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия — 8. Теория и задачи: Экспериментальное учебное пособие для 8 кл. — М.: РОСТ, МИРОС, 1996. — № 7.3.12, с. 103
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 12.24, с. 95