13330. Центр окружности \omega
лежит на окружности \Omega
, хорда AB
окружности \Omega
касается \omega
в точке C
так, что AC:CB=17:7
. Найдите AB
, если известно, что радиусы \omega
и \Omega
равны 7 и 13 соответственно.
Ответ. 24.
Решение. Пусть точки D
и E
— центры окружностей \omega
и \Omega
соответственно, а точки K
и M
— проекции точки E
на прямые CD
и AB
соответственно. Поскольку окружность \omega
касается прямой AB
в точке C
, угол KCM
прямой; тогда в четырёхугольнике CMEK
три угла прямые, и он прямоугольник. Тогда CK=EM
и EK=CM
.
Пусть AC=17x
, BC=7x
. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому
AM=BM=12x,~MC=BM-BC=12x-7x=5x.
Из прямоугольного треугольника AME
с гипотенузой EA=13
и катетом AM=12x
и получаем
EM=\sqrt{EA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{169-144x^{2}},
а из прямоугольного треугольника DKE
с гипотенузой DE=13
и катетом
DK=DC-CK=DC-EM=7-\sqrt{169-144x^{2}}
получаем
ED^{2}=DK^{2}+EK^{2}=DK^{2}+MC^{2},
или
169=(7-\sqrt{169-144x^{2}})^{2}+25x^{2}.
После очевидных упрощений получаем уравнение
289x^{4}+338x^{2}-627=0.
Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень x=1
. Следовательно,
AB=24x=24.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 4, вариант 9, 10 класс