13331. Центр окружности \omega
лежит на окружности \omega
, диаметр AB
окружности \Omega
касается \omega
в точке C
так, что AC=1
и BC=16
. Найдите длину общей касательной к окружностям \omega
и \Omega
.
Ответ. 2\sqrt{13}
.
Решение. Обозначим центры окружности \Omega
и \omega
через O
и Q
, а их радиусы — через R
и r
соответственно. Из условия следует, что R=\frac{1}{2}AB=\frac{17}{2}
. Тогда
CO=OA-AC=R-1=\frac{17}{2}-1=\frac{15}{2},
а из прямоугольного треугольника OCQ
находим, что
r=QC=\sqrt{OQ^{2}-CO^{2}}=\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^{2}-\left(\frac{15}{2}\right)^{2}}=4.
Пусть DH
— отрезок общей касательной к окружностям, а D
и H
— её точки касания с окружностями \omega
и \Omega
соответственно. В прямоугольной трапеции OQDH
известны основания QD=r=4
, OH=R=\frac{17}{2}
и боковая сторона OQ=R=\frac{17}{2}
. Чтобы найти вторую боковую сторону DH
, опустим из точки Q
перпендикуляр QM
на основание OH
. Поскольку QDHM
— прямоугольник, его противоположные стороны равны. Значит,
DH=MQ=\sqrt{OQ^{2}-OM^{2}}=\sqrt{OQ^{2}-(OH-DQ)^{2}}=
=\sqrt{\left(\frac{17}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}=2\sqrt{13}.
Примечание. Если AC=1
и BC=25
, то ответ: \sqrt{105}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 4, вариант 13, 9 класс