13332. Вписанная окружность \omega
прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом B
касается его сторон CA
, AB
, BC
в точках D
, E
, F
соответственно. Луч ED
пересекает прямую, перпендикулярную BC
, проходящую через вершину C
, в точке Y
; X
— вторая точка пересечения прямой FY
с окружностью \omega
. Известно, что EX=2\sqrt{2}XY
. Найдите отношение AD:DC
.
Ответ. \frac{10}{3}
.
Решение. Из равенств
XY=FY-FX=y\sqrt{2}-x\sqrt{2}=(y-x)\sqrt{2},
2x=EX=2\sqrt{2}XY=2\sqrt{2}\cdot(y-x)\sqrt{2}=4(y-x)
получаем, что y=\frac{3}{2}x
.
По теореме Пифагора
(x+y)^{2}+(z+x)^{2}=(y+z)^{2}~\Rightarrow~\left(x+\frac{3}{2}z\right)^{2}+(z+x)^{2}=\left(\frac{3}{2}x+z\right)^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{25}{4}x^{2}+x^{2}+2xz+z^{2}=z^{2}+3xz+\frac{9}{4}x^{2}~\Rightarrow~x(5x-z)=0,
а так как x\ne0
, то z=5x
. Следовательно,
\frac{AD}{DC}=\frac{z}{y}=\frac{5x}{\frac{3}{2}x}=\frac{10}{3}.
Примечание. Если EX=\sqrt{2}XY
, то \frac{AD}{DC}=\frac{3}{2}
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 7, вариант 13, 9 класс