13334. Равнобедренный треугольник ABC
(AB=BC
) вписан в окружность \omega
, а на дуге AC
, не содержащей точку B
, взяты точки E
и D
так, что отрезки AD
и CE
пересекаются в точке F
. На лучах EA
и DC
отметили точки X
и Y
соответственно таким образом, что AX=CF
и CY=AF
. Найдите площадь четырёхугольника BXFY
, если BF=7{,}5
, XY=15
.
Ответ. \frac{225}{4}
.
Решение. Углы EAD
и ECD
равны, так как они опираются на одну и ту же дугу. Значит, равны и смежные с ними углы XAF
и YCF
, а так как AX=CF
и AF=CY
, то треугольники AXF
и CFY
равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда XF=YF
, т. е. точка F
равноудалена от концов отрезка XY
. Следовательно, эта точка лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Четырёхугольник BADC
вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна 180^{\circ}
. Пусть \angle BAD=\alpha
. Тогда
\angle BCD=180^{\circ}-\alpha,~\angle BCY=180^{\circ}-\angle BCD=\alpha,
поэтому треугольники AFB
и CYB
также равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, BY=BF
.
Аналогично, треугольники BAX
и BCF
тоже равны, откуда BX=BF
. Значит, точка B
также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY
. Следовательно, BF\perp XY
, а площадь четырёхугольника BFXY
равна
\frac{1}{2}BF\cdot XY=\frac{225}{4}.
Примечание. Если BF=36
и XY=69
, то ответ: 1242
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2023, задача 7, вариант 15, 9 класс