13335. Пусть PT
и PB
— две касательные к окружности, AB
— диаметр, проходящий через точку B
, а TH
— перпендикуляр, опущенный из точки T
на AB
. Докажите, что прямая AP
делит пополам отрезок TH
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения прямой AP
с отрезком TH
, O
— центр окружности, R
— её радиус.
Прямые TH
и PB
перпендикулярны одной и той же прямой AB
, поэтому они параллельны. Тогда треугольник AHX
подобен треугольнику ABP
. Значит,
\frac{HX}{AH}=\frac{BP}{AB}=\frac{TP}{2R}.
Поскольку
\angle HBT=\angle OBT=\angle OTB=\angle OPT
как углы при основании BT
равнобедренного треугольника BOT
, прямоугольные треугольники HTB
и TOP
тоже подобны. Значит,
\frac{HT}{HB}=\frac{TO}{TP}=\frac{R}{TP}.
Учитывая, что TH^{2}=AH\cdot BH
по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, получим
\frac{HX}{TH}=\frac{HX}{TH}\cdot\frac{TH}{TH}=\frac{HX\cdot TH}{TH^{2}}=\frac{HX\cdot TH}{AH\cdot BH}=\frac{HX}{AH}\cdot\frac{HT}{HB}=\frac{PT}{2R}\cdot\frac{R}{TP}=\frac{1}{2}.
Следовательно, X
— середина отрезка TH
. Что и требовалось доказать.