13338. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A=42^{\circ}
и AB\lt AC
. Точка K
на стороне AC
такова, что AB=CK
. Точки P
и Q
— середины отрезков AK
и BC
соответственно. Сколько градусов составляет угол ACB
, если известно, что \angle PQC=110^{\circ}
?
Ответ. 49^{\circ}
.
Решение. Отметим на продолжении стороны CA
за точку A
такую точку L
, что AL=AB
Прямая PQ
параллельна прямой BL
как средняя линия треугольника BCL
. Тогда
\angle LBC=\angle PQC=110^{\circ}.
В равнобедренном треугольнике BAL
внешний угол при вершине A
равен 42^{\circ}
, поэтому углы при основании равны
\angle ALB=\angle ABL=\frac{1}{2}\cdot42^{\circ}=21^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle CLB-\angle LBC=180^{\circ}-110^{\circ}-21^{\circ}=49^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 8, 8 класс