13339. На сторонах AB
и BC
прямоугольника ABCD
отмечены точки M
и N
соответственно. Известно, что AN=7
, NC=39
, AM=12
, MB=3
.
а) Найдите площадь прямоугольника ABCD
.
б) Найдите площадь треугольника MNC
.
Ответ. а) 645; б) 268,5.
Решение. а) Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому
CD=AB=AM+BM=12+3=15.
По теореме Пифагора из треугольника CDN
находим, что
DN=\sqrt{CN^{2}-CD^{2}}=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=36.
Тогда
BC=AD=36+7=AN+DN=7+36=43.
Следовательно,
S_{ABCD}=BC\cdot CD=43\cdot15=645.
б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следовательно,
S_{\triangle MNC}=S_{ABCD}-S_{\triangle AMN}=S_{\triangle BCM}-S_{\triangle DNC}=
=645-\frac{1}{2}\cdot12\cdot7-\frac{1}{2}\cdot3\cdot43-\frac{1}{2}\cdot15\cdot36=268{,}5.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 2, 9 класс