13340. Стороны AD
и CD
вписанного четырёхугольника ABCD
равны. На стороне BC
отмечена такая точка X
, что AB=BX
. Известно, что \angle B=34^{\circ}
, \angle XDC=52^{\circ}
.
а) Сколько градусов составляет угол AXC
?
б) Сколько градусов составляет угол ACB
?
Ответ. а) 107^{\circ}
; б) 47^{\circ}
.
Решение. а) По условию AB=BX
и \angle B=34^{\circ}
, поэтому
\angle AXB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-34^{\circ})=73^{\circ}.
Следовательно,
\angle AXC=180^{\circ}-73^{\circ}=107^{\circ}.
б) Поскольку AD=DC
, дуги AD
и DC
равны. Это означает, что BD
— биссектриса угла ABC
. Из равенства треугольников ABD
и XBD
(по двум сторонам и углу между ними)следует, что XD=AD=CD
.
Поскольку четырёхугольник ABCD
вписанный,
\angle ACD=\angle ABD=\frac{1}{2}\cdot34^{\circ}=17^{\circ},
а так как XD=CD
и \angle XCD=52^{\circ}
, то
\angle XCD=\angle CXD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-52^{\circ})=64^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACB=\angle XCD-\angle ACD=64^{\circ}-17^{\circ}=47^{\circ}.
Примечание. Также угол ACX
можно было найти, исходя из того, что точка D
— центр описанной окружности треугольника ACX
.