13342. Дан треугольник ABC
. Пусть точка I
— центр его вписанной окружности, а точки P
и Q
— середины сторон AB
и AC
соответственно. Оказалось, что \angle PIQ+\angle BIC=180^{\circ}
. Найдите длину отрезка BC
, если AB=20
и AC=14
.
Ответ. \frac{34}{3}
.
Решение. Из условия следует, что \angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}
. Кроме того, PQ\parallel BC
как средняя линия треугольника.
Проведём к вписанной окружности треугольника ABC
касательную, параллельную BC
. Обозначим через P'
и Q'
точки пересечения этой касательной со сторонами AB
и AC
соответственно. Поскольку в трапецию BP'Q'C
вписана окружность с центром I
, то I
— точка пересечения биссектрис всех четырёх углов этой трапеции, а так как P'Q'\parallel BC
, то
\angle P'Q'C+\angle BCQ'=180^{\circ}.
Тогда
\angle IQ'C+\angle ICQ'=90^{\circ}~\Rightarrow~\angle CIQ'=90^{\circ}.
Аналогично \angle BIP'=90^{\circ}
. Тогда
\angle BIP'+\angle CIQ'=180^{\circ}=\angle BIP+\angle CIQ=180^{\circ}.
Если отрезок P'Q'
находится выше отрезка PQ
, то \angle BIP'\gt\angle BIP
и \angle CIQ'\gt\angle CIQ
, а если ниже, то \angle BIP'\lt\angle BIP
и \angle CIQ'\lt\angle CIQ
. В обоих этих случаях полученное равенство невозможно. Следовательно, точки P'
и Q'
совпадают с точками P
и Q
соответственно, и PQCB
— описанная трапеция.
Поскольку BP=AP=10
и CQ=AQ=7
, а также PQ=\frac{1}{2}BC
, то по свойству описанного четырёхугольника
10+7=BP+CQ=PQ+BC=\frac{1}{2}BC+BC=\frac{3}{2}BC.
Следовательно,
BC=\frac{2}{3}\cdot17=\frac{34}{3}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 8, 10 класс