13348. Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника T
, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол 120^{\circ}
(прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного T
.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, O
— центр его описанной окружности, D
, E
, F
— середины его сторон BC
, CA
, AB
соответственно. Треугольник DEF
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
и OD\perp BC
, OE\perp CA
, OF\perp AB
.
Пусть при повороте вокруг точки O
по часовой стрелке на угол 120^{\circ}
точка D
переходит в D'
. При таком повороте прямая BC
переходит в прямую, проходящую через точку D'
перпендикулярно OD'
. Пусть эта прямая пересекает прямую BC
в точке K
. Прямоугольные треугольники ODK
и OD'K
равны (симметричны относительно прямой OK
), и поэтому \angle KOD=\frac{1}{2}\angle DOD'=60^{\circ}
. Тогда в прямоугольном треугольнике KOD
гипотенуза OK
вдвое больше катета OD
. Это означает, что точка K
получается из D
в результате поворотной гомотетии: поворота с центром O
по часовой стрелке на угол 60^{\circ}
и последующей гомотетии с центром O
и коэффициентом 2. Аналогичный результат получим для других точек L
, M
пересечения одноцветных прямых. Таким образом, треугольник KLM
получается из треугольника DEF
поворотной гомотетией с центром O
и коэффициентом 2. Тогда треугольник KLM
подобен треугольнику DEF
с коэффициентом 2, и следовательно, равен треугольнику ABC
.