13351. Дана равнобокая трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Окружность \omega
проходит через вершины B
и C
и вторично пересекает сторону AB
и диагональ BD
в точках X
и Y
соответственно. Касательная, проведённая к окружности \omega
в точке C
, пересекает луч AD
в точке Z
. Докажите, что точки X
, Y
и Z
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку BC\parallel AD
, а прямая ZC
касается окружности \omega
, то
\angle ADB=\angle YBC=\angle YCZ.
Следовательно,
\angle YDZ+\angle YCZ=180^{\circ},
значит, четырёхугольник CYDZ
вписанный. Тогда
\angle CYZ=\angle CDZ=\angle XBC=180^{\circ}-\angle CYX,
где последние два равенства следуют из того, что трапеция ABCD
равнобокая, а четырёхугольник XBCY
вписан в окружность \omega
. Таким образом,
\angle CYZ+\angle CYX=180^{\circ}.
Следовательно, точки X
, Y
и Z
лежат на одной прямой.