13362. Стороны AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
касаются окружности с центром I
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. На прямой AI
выбрана произвольная точка P
. Прямая PK
пересекает прямую BI
в точке Q
. Прямая QL
пересекает прямую CI
в точке R
. Прямая RM
пересекает прямую DI
в точке S
. Докажите, что точки P
, N
и S
лежат на одной прямой.
Решение. По теореме Менелая для треугольника AIB
и прямой KQ
получаем
\frac{BQ}{QI}\cdot\frac{IP}{PA}\cdot\frac{AK}{KB}=-1.
Аналогично, для треугольника BIC
и прямой QL
— получаем
\frac{CR}{RI}\cdot\frac{IQ}{QB}\cdot\frac{BL}{LC}=-1.
Аналогично, для треугольника CID
и прямой SM
—
\frac{DS}{SI}\cdot\frac{IR}{RC}\cdot\frac{CM}{MD}=-1.
Перемножая эти равенства с учётом равенств AK=AN
, BK=BL
, CL=CM
и DM=DN
, получаем
\frac{IS}{SD}\cdot\frac{DN}{NA}\cdot\frac{AP}{PI}=-1,
что равносильно утверждению задачи.
Примечание. Утверждение останется верным при замене точки I
произвольной точкой плоскости.