13363. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
, точка T
такова, что \angle ATB=\angle BTC=\angle ATC
. Окружность, проходящая через точки B
, C
и T
, повторно пересекает прямые AB
и AC
в точках K
и L
. Докажите, что точки K
и L
равноудалены от прямой AT
.
Решение. Пусть прямая AT
повторно пересекает описанную окружность треугольника BCT
в точке D
. Обозначим \angle BAT=\alpha
. Поскольку \angle ATB=\frac{1}{3}\cdot360^{\circ}=120^{\circ}
, то \angle ABT=60^{\circ}-\alpha
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BTD=\alpha+(60^{\circ}-\alpha)=60^{\circ},
а так как \angle BCT=120^{\circ}
, то \angle CTD=60^{\circ}
, т. е. TD
— биссектриса угла BTC
. Значит,
CD=BD~\mbox{и}~\angle BCD=\angle BTD=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник BCD
равносторонний.
По теореме об угле между касательной и хордой касательные к описанной окружности треугольника ABC
в точках B
и C
образуют с хордой BC
угол, равный углу BAC
, т. е. 60^{\circ}
. Значит, BD
и CD
— касательные к этой окружности. Следовательно, AT
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 10449).
С другой стороны, поскольку
\angle ALB=180^{\circ}-\angle BLC=180^{\circ}-\angle BTC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}
и \angle AKC=60^{\circ}
, то треугольники ABL
и ACK
равносторонние, поэтому треугольники ABC
и ALK
симметричны относительно биссектрисы угла BAC
. Значит, симедиана AT
треугольника ABC
является медианой треугольника AKL
. Следовательно, перпендикуляры, опущенные из точек K
и L
на прямую AT
, равны. Что и требовалось доказать.
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, заочный тур, задача 11, 8-10 классы